马猜想〔Fermat's conjecture〕又称费马大定理或费马问题,是数论中最著名的世界难题之一.1637年,法国数学家费马在巴歇校订的希腊数学家丢番图的《算术》第II卷第8命题旁边写道：「将一个立方数分为两个立方数,一个四次幂分为两个四次幂,或者一般地将一个高于二次的幂分为两个同次的幂,这是不可能的.关于此,我确信已发现一种美妙的证法,可惜这里空白的地方太小,写不下.」费马去世后,人们找不到这个猜想的证明,由此激发起许多数学家的兴趣.欧拉、勒让德、高斯、阿贝尔、狄利克雷、柯西等大数学家都试证过,但谁也没有得到普遍的证法.300多年以来,无数优秀学者为证明这个猜想,付出了巨大精力,同时亦产生出不少重要的数学概念及分支.若用不定方程来表示,费马大定理即：当n > 2时,不定方程xn + y n = z n 没有xyz≠0的整数解.为了证明这个结果,只需证明方程x4 + y 4 = z 4 ,(x ,y) = 1和方程xp + yp = zp ,(x ,y) = (x ,z) = (y ,z) = 1〔p是一个奇素数〕均无xyz≠0的整数解.n = 4的情形已由莱布尼茨和欧拉解决.费马本人证明了p = 3的情,但证明不完全.勒让德〔1823〕和狄利克雷〔1825〕证明了p = 5的情形.1839年,拉梅证明了p = 7的情形.1847年,德国数学家库默尔对费马猜想作出了突破性的工作.他创立了理想数论,这使得他证明了当p < 100时,除了p = 37,59,67这三个数以外,费马猜想都成立.后来他又进行深入研究,证明了对于上述三个数费马猜想也成立.在近代数学家中,范迪维尔对费马猜想作出重要贡献.他从本世纪20年始研究费马猜想,首先发现并改正了库默尔证明中的缺陷.在以后的30余年内,他进行了大量的工作,得到了使费马猜想成立一些充分条件.他和另外两位数学家共同证明了当p < 4002时费马猜想成立.现代数学家还利用大型电子计算器来探索费马猜想,使p 的数目有很大的推进.到1977年为止,瓦格斯塔夫证明了p < 125000时,费马猜想成立.《数学会通讯》1987年第2期据国外消息报导,费马猜想近年来取得了惊人的研究成果：格朗维尔和希思—布龙证明了「对几乎所有的指数,费马大定理成立」.即若命N(x)表示在不超过x的整数中使费马猜想不成立的指数个数,则 证明中用到了法尔廷斯〔Faltings〕的结果.另外一个重要结果是：费马猜想若有反例,即存在x > 0,y > 0,z > 0,n > 2,使xn + y n = z n ,则x > 101,800,000.